В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) вписано круг. Через конец диаметра,...

Question

9 просмотров

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) вписано круг. Через конец диаметра, перпендикулярно к основанию AC, провели касательную, которая пересекает стороны BA и BC в точках K и M соответственно. Найдите периметр четырехугольника AKMC, если периметр треугольника ABC равен 60 см, периметр треугольника BKM равен 20 см, KM: CA = 1 : 3.

Геометрия oled55_zn (101 баллов) 26 Май, 20 | 9 просмотров

условие там непонятно , если касательная перпендикулярна АС , то она параллельна высоте , но тогда она пересечет только одну из боковых сторон , скорее всего касательная проведена через конец диаметра , перпендикулярного АС , но тогда она параллельна основанию , подобные треугольники , понятно по периметрам , что отношение КМ к АС равно 1/3 , зачем это в условии? Во втором варианте треугольники правильные

оставил комментарий аноним 26 Май, 20

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Т.к. KM и AC перпендикулярны одному и тому же диаметру окружности, то они параллельны. Следовательно треугольники ABC и ВКМ подобны. Коэффициент подобия найдем из отношения их периметров: k = 60 / 20 = 3

$P_{AKMC}=AK+KM+MC+AC=AB-BK+KM+BC-BM+AC+KM-KM=(AB+BC+AC)-(BK+BM+KM)+2KM=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM$

Найдем КМ. Т.к. в четырехугольник AKMC вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AK+MC=AC+KM\\AB-BK+BC-BM=AC+KM$

К левой и правым частям добавим AC и вычтем KM:

$AB-BK+BC-BM+AC-KM=AC+KM+AC-KM\\AB+BC+AC-(BK+BM+KM)=2AC\\P_{ABC}-P_{BKM}=2AC\\2AC=40\\AC=20$

Откуда KM = 20 / 3

$P_{AKMC}=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM=60-20+\frac{2}{3}*20=\frac{160}{3}$

as11111_zn (3.7k баллов) 26 Май, 20