X^4 + (x-4)^4 = 82
справа сумма двух квадратов...
и 82 можно разложить на сумму двух квадратов = 81 + 1
x^4 - 1 + (x-4)^4 - 81 = 0
т.к. сгруппировать можно или так, или так:
x^4 - 81 + (x-4)^4 - 1 = 0
то нетрудно заметить, что целыми корнями уравнения будут числа
х=1 и х=3
значит многочлен должен разделиться на произведение (х-1)*(х-3) нацело...
разложим на множители...
(x^2-1)(x^2+1) + ((x-4)^2-9)((x-4)^2+9) = 0
(x-1)(x+1)(x^2+1) + (x^2-8x+7)(x^2-8x+25) = 0
(x-1)(x+1)(x^2+1) + (x-7)(x-1)(x^2-8x+25) = 0
(x+1)(x^2+1) + (x-7)(x^2-8x+25) = 0
x^3 - 7x^2 + 41x - 87 = 0
(x-3)(x^2 - 4x + 29) = 0
x^2 - 4x + 29 = 0
D = 16-4*29 < 0
больше корней нет...
Ответ: 1; 3
