При каких значениях A и D прямая x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t лежит в плоскости Ax +2y -...

Question

При каких значениях A и D прямая x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t лежит в плоскости Ax +2y - 4z+D=0? Не кидайте из интернета непонятную картинку с решением, ее я уже видел. Напишите своё решение и с объяснениями подробными, озолочу и отблагодарю душевно.

Answer 1

запишу параметрическое уравнение прямой

x=3+4t; 4t=x-3; t=(x-3)/4

y=1-4t; 4t=1-y; t=(1-y)/4

z= -3+t; t=z+3

(x-3)/4=(y-1)/-4=(z+3)/1-параметрическое уравнение прямой

ее направляющий вектор a(4;-4;1)

если этот вектор лежит в плоскости с нормалью b(A;2;-4), то скалярное произведение а и b должно равняться нулю, они перпендикулярны

4A-4*2+1*(-4)=0

4A-8-4=0; 4A=12; A=3

Чтобы найти D, подставлю точку (3;1;-3), через которую проходит прямая, в уравнение плоскости

3*3+2*1-4*(-3)+D=0

9+2+12+D=0

D=-23