Даны координаты вершин треугольника АВС: А(0;-10),В(-12;-1),С(4;12).Найти:
1. Длину стороны АВ:
АВ (с) =√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 = 15.
2. Уравнение сторон АВ и АС:
АВ :Х-Ха =У-Уа х = у + 10
Хв-Ха Ув-Уа -12 9
9х = -12у -120 сократим на 3 и перенесём налево:
3х + 4у + 40 = 0.
у(АВ) =-0,75х - 10.
АС :Х-Ха=У-Уа
Хс-Ха Ус-Уа
11Х-2У-20=0
у =5,5х - 10
3. Величину угла А:
cos A=АВ²+АС²-ВС² =0,4472136.
2*АВ*АС
A =1,107149радиан.
A =63,434949градусов.
4. Уравнение высоты CD и ее длину.
к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-0,75) = 4/3.
у = (4/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С:
12 = (4/3)*4 + в, в = 12 - (16/3) = 20/3.
Уравнение СД: у = (4/3)х + (20/3).
Длину СД можно определить двумя способами: СД = 2S/AB и по координатам точек С и Д.
Приравниваем уравнения АВ и СД: -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),
(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,
х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,
у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4. Точка D: (-8; -4).
Длина СД = √((-8-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.
5. Уравнение медианы ВЕ.
Точка Е как середина АС: (2; 1).
ВЕ: Х-Хв =У-Ув х + 12 = у + 1
Хе-Хв Уе-Ув 14 2
Знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.
Общее уравнение ВЕ: х - 7у + 5 = 0,
с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).
6. Координаты точки К пересечения медианы ВЕ и высоты CD.
(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),
(-25/21)х = (125/21)
х = -125/25 = -5, у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0. Точка К:(-5; 0).
7. Уравнение прямой КР, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.
Угловой коэффициент равен -0,75.
Уравнение КР: у = (-0,75)х + в. Подставим координаты точки К(-5; 0):
0 = (-0,75)*(-5) + в, в = - (15/4) = -3,75.
у = (-0,75)х - 3,75.
8. Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
Так как CD - перпендикуляр к прямой АВ, то точка D(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке А.
xM = 2xD - xA = 2*(-8) - 0 = -16,
yM =2yD - yA = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.
Точка М(-16, 2).