Как пишется: прожить не зря, слитно или раздельно?

Не зря пишется раздельно. Если другие слова иногда пишутся и слитно, то здесь только раздельное написание в любых случаях будет. Следовательно, можно просто запомнить, как оно пишется. Тогда при написании проблем не появится.