Помогите с линейным дифференциальным уровнением y'tgx+y=cos^(2)x

Ответ:

$y= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}$

Пошаговое объяснение:

y'tgx + y = cos²x

Решаем методом вариации постоянной (Лагранжа).

Шаг 1. Решение однородного уравнения

y'tgx + y = 0

Делим обе части уравнения на y·tgx

y'/y + ctgx = 0

$\frac{y'}{y} + ctgx =0$

dy/y = -ctg(x)dx

$\frac{dy}{y} =ctg(x) dx$

Интегрируем обе части уравнения

$\int\limits{\frac{1}{y}} \, dy = -\int\limits{\frac{cos(x)}{sin(x)} } \, dx$

ln|y| = -ln|sin(x)| + ln|C|

ln|y| = ln|C/sin(x)|

y = C/sin(x)

Шаг 2. Заменяем постоянную С на функцию u(x)

y = u(x)/sin(x)

Находим производную

$y' = \frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)}$

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

y'tgx + y = 0

$\frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)} \cdot tg(x) +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)$

$\frac{u'(x)}{cos(x)} -\frac{u(x)}{sin(x)} +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)$

$\frac{u'(x)}{cos(x)} =cos^2(x)$

u'(x) = cos³(x)

du = cos³(x)dx

Интегрируем обе части уравнения

$\int\limits {du} = \int\limits {cos^3(x)} \, dx$

$u = \int\limits {cos^2(x)} \, d(sin(x))=\int\limits {(1-sin^2(x))} \, d(sin(x))=sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C$

u(x) = sin(x) - sin³(x)/3 + C

Решение уравнения

$y=\frac{sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C}{sin(x)}= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}$