Докажите формулу для вычисления суммы углов выпуклого много угольник.

Question

Докажите формулу для вычисления суммы углов выпуклого много угольник.

Answer 1

Сумма углов треугольника - 180 градусов.

Докажем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2) градусам. Выберем одну из вершин и проведём из неё n-2 диагонали. Они разделят n-угольник на n-2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам, сумма углов n-угольника равна сумме углов всех треугольников. Значит, сумма углов выпуклого n-угольника - 180(n-2) градусов, что и требовалось доказать.

Answer 2

Теорема (о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника                         равна 180º(n-2). (n — количество сторон многоугольника).

 (смотри верхний рисунок)

—  выпуклый n -угольник.  

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

 (смотри нижний рисунок)

Получили n треугольников.

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.  

То есть в данном случае у нас 6-угольник, имеем 6 треугольников, сумма углов которых 6*180 и минус 2*180 – сумма углов при вершине. Получается 180*(6 – 2) = 720 гр.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º, то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

---