Как проверить букву е в слове душем?

Проверочного слова нет.

Начальная форма слова - душ

Это сущ. м.р 2 склонения ед.ч, а окончания в творительном падеже ед.ч у таких слов(2 скл.) -ом,-ем(-ём)

душем(чем?) - творительный падеж

Праздником, дождём, душем