Геометрия. 35 балловДиагональ выпуклого четырехугольника ABCD, выписанного в окружность с...

Question

Геометрия. 35 балловДиагональ выпуклого четырехугольника ABCD, выписанного в окружность с центром в O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломанная AOC делит четырехугольник на две части равной площади.

Answer 1

Пусть K – точка пересечения диагоналей AC и BD. Если O принадлежит AC, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников – выпуклый. Пусть тогда M и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на AC и BD. Тогда

SABCO = ½ AC·OM + ½ AC·BK = ½ AC·(OM + BK) = ½ AC·(KN + BK) = ¼ AC·BD = ½ SABCD.