Помогите, пожалуйста, найти производную у' по х

Question 1

Question 2

Производная функции, заданной параметрически определяется по формуле: $y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$

21.

$\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{3t^2+1}{3t^3}\\y=\sin\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right) \end{array}$

$x'_t=\left(\dfrac{3t^2+1}{3t^3}\right)'=\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{3t^3}\right)'=\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{3}t^{-3}\right)'=\\=-\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{3}\cdot(-3t^{-4})=-\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t^4}=-\dfrac{t^2+1}{t^4}$

$y'_t=\left(\sin\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)\right)'=\cos\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)\cdot\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)'=\cos\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)\cdot\left(t^2+1\right)$

$\Rightarrow y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\left(t^2+1\right)\cos\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)}{-\dfrac{t^2+1}{t^4}}=-t^4\cos\left(\dfrac{t^3}{3}+t\right)$

22.

$\left\{\begin{array}{l} x=\arcsin(\sin t) \\ y=\arccos(\cos t) \end{array}$

$x'_t=(\arcsin(\sin t))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\sin t)^2} } \cdot(\sin t)'=\dfrac{1}{\sqrt{\cos^2t}}\cdot\cos t=\dfrac{\cos t}{|\cos t|}$

$y'_t=(\arccos(\cos t))'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(\cos t)^2} } \cdot(\cos t)'=-\dfrac{1}{\sqrt{\sin^2t}} \cdot(-\sin t)=\dfrac{\sin t}{|\sin t|}$

$\Rightarrow y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\dfrac{\sin t}{|\sin t|}}{\dfrac{\cos t}{|\cos t|}}=\dfrac{\sin t|\cos t|}{\cos t|\sin t|}=\dfrac{\mathrm{tg}t}{|\mathrm{tg}t|}$

23.

$\left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{1-t^2} \\ y=\mathrm{tg}\sqrt{1+t} \end{array}$

$x'_t=(\sqrt{1-t^2})'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-t^2}} \cdot(1-t^2)'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-t^2}} \cdot(-2t)=-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}$

$y'_t=(\mathrm{tg}\sqrt{1+t})'=\dfrac{1}{(\cos\sqrt{1+t})^2} \cdot(\sqrt{1+t})'=\\=\dfrac{1}{\cos^2\sqrt{1+t}} \cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1+t}}=\dfrac{1}{2\sqrt{1+t}\cos^2\sqrt{1+t}}$

$\Rightarrow y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+t}\cos^2\sqrt{1+t}}}{-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}}=-\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{2t\sqrt{1+t}\cos^2\sqrt{1+t}}$

Question 3

а почему во втором примере выражение под модулем?