5) Для составления уравнения плоскости АВС используем формулу:
x - x1 y - y1 z - z1 = 0
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
x - (-1) y - (-3) z - 2 = 0
(-1) - (-1) 3 - (-3) 2 - 2
(-2) - (-1) 1 - (-3) 3 - 2
x - (-1) y - (-3) z - 2 = 0
0 6 0
-1 4 1
(x -(-1))(6·1-0·4) - (y -(-3))(0·1-0·(-1)) + (z -2)(0·4-6·(-1)) = 0
6(x - (-1)) +0(y -(-3)) + 6(z - 2) = 0
6x + 6z - 6 = 0 или, сократив на 6, получим уравнение
АВС: x + z - 1 = 0.
Аналогично определяем уравнение плоскости АВД.
x - (-1) y - (-3) z - 2 = 0
(-1) - (-1) 3 - (-3) 2 - 2
0 - (-1) (-2) - (-3) (-1) - 2
x - (-1) y - (-3) z - 2 = 0
0 6 0
1 1 -3
(x -(-1))(6·(-3)-0·1) - (y -(-3))(0·(-3)-0·1) + (z -2)(0·1-6·1) = 0
(-18)(x - (-1)) + 0(y - (-3)) + (-6)(z - 2) = 0
- 18x - 6z - 6 = 0 или, сократив на 6, получаем уравнение
АВД: -3x - z - 1 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
x + z - 1 = 0 и - 3x - z - 1 = 0
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²).)
cos α = |1·(-3) + 0·0 + 1·(-1)| /(√(1² + 0² + 1²)*√((-3)² + 0² + (-1)²)) =
= |(-3) + 0 + (-1)| /(√(1 + 0 + 1)*√(9 + 0 + 1)) =
= 4 /(√2*√10) = 4 /√20 = 2√5 /5 ≈ 0.894427.
α = 26.56505°.
9) Находим координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.
xM = (-1-1-2)/3 = -4/3.
yM = (-3+3+1)/3 = 1/3.
zM = (2+2+3)/3 = 7/3.
Уравнение ДМ: (x + (4/3))/(4/3) = (y - (1/3))/(-7/3) = (z - (7/3))/(-10/3).
Приведём подобные и упростим.
(3x + 4)/4 = (3y - 1)/(-7) = (3z - 7)/(-10) = t.
Отсюда получаем параметрические уравнения прямой ДМ:
x = (4/3)t - (4/3),
y = (-7/3)t + (1/3),
z = (-10/3)t + (7/3).