4 и 5. Тригонометрия

4. Поделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2x$ и подставим в выражение $tgx=-2$ :

$\frac{2+\sin x\cos x}{\sin^2x+\sin x\cos x} =\frac{\frac{2}{\cos^2x}+\frac{\sin x}{\cos x}}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2+\frac{\sin x}{\cos x}} =\frac{2(tg^2x+1)+tgx}{tg^2x+tgx} =4$

5. Пусть $|\sin x+\cos x|=t$

Тогда

$t^2=|\sin x+\cos x|^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x=1+2m$

Подкоренное выражение положительно, при m≥0, поэтому

$t=\sqrt{1+2m}$