100 баллов! Срочно! Исследовать ** сходимость ряды1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2...

0 голосов
50 просмотров

100 баллов! Срочно! Исследовать на сходимость ряды1) Сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3)2) Сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n)3) Сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!

Математика (2.0k баллов) | 50 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится


Пошаговое объяснение:

1) Известно, что ряд сумма \frac{1}{n^{\alpha }} сходится при α > 1

В частности сходится и ряд суммы \frac{1}{n^{2}}

Т.к. imagen^{2}" alt="n^{2}+2n+3>n^{2}" align="absmiddle" class="latex-formula">

то \frac{1}{n^{2}+2n+3}<\frac{1}{n^{2}}

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

2) Аргумент синуса убывает от \frac{\pi }{2} для 0

Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать

sinx < x

Исследуем на сходимость ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}}

Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему

D=\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n}}}=\frac{1}{2}<1

По признаку Даламбера ряд сумм \frac{\pi }{2^{n}} сходится.

По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм sin(\frac{\pi}{2^{n}})

3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему

D=\frac{\frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}}=\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}

При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

(3.7k баллов)
Похожие задачи