Решите уравнение с параметрами. 50 баллов.

Ответ: $a \in \left(2;5\right)$

Пошаговое решение:

$f(x)=(a-2)x^2-2(a+3)x+4a$

Если 0" alt="a-2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, то ветви параболы $y=f(x)$ направлены вверх; неравенство $f(2)<0$ служит необходимым и достаточным условием того, что корни уравнения расположены по разные стороны от 2, а в противном случае, когда a-2<0 точка х = 2 расположен между корнями уравнения, т.е. f(2)>0

0} \atop {f(2)<0}} \right. \\\displaystyle \left \{ {{a-2<0} \atop {f(2)>0}} \right.\end{array}\right~~~~\Leftrightarrow~~~~ (a-2)f(2)<0" alt="\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \left \{ {{a-2>0} \atop {f(2)<0}} \right. \\\displaystyle \left \{ {{a-2<0} \atop {f(2)>0}} \right.\end{array}\right~~~~\Leftrightarrow~~~~ (a-2)f(2)<0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Аналогично для точки x=3

0} \atop {f(3)<0}} \right. \\\displaystyle \left \{ {{a-2<0} \atop {f(3)>0}} \right.\end{array}\right~~~~\Leftrightarrow~~~~ (a-2)f(3)<0" alt="\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \left \{ {{a-2>0} \atop {f(3)<0}} \right. \\\displaystyle \left \{ {{a-2<0} \atop {f(3)>0}} \right.\end{array}\right~~~~\Leftrightarrow~~~~ (a-2)f(3)<0" align="absmiddle" class="latex-formula">

$\displaystyle \left \{ {{(a-2)f(2)<0} \atop {(a-2)f(3)<0}} \right. ~\Leftrightarrow~ \left \{ {{(a-2)((a-2)\times2^2-2(a+3)\times2+4a)<0} \atop {(a-2)((a-2)\times3^2-2(a+3))\times3+4a)<0}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{4(a-2)(a-5)<0} \atop {(a-2)(7a-36)<0}} \right. ~\Leftrightarrow~2<a<5$