Докажите, что многочлен G (x) = x²ⁿ⁻¹ + a²ⁿ⁻¹ (n ∈ N) делится ** многочлен (x + a), и...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$x^{2n-1}+a^{2n-1}$ имеет корень $x=-a$ , так как $(-a)^{2n-1}+a^{2n-1}=-a^{2n-1}+a^{2n-1}=0$ . Значит, многочлен можно разделить на выражение $(x-(-a))$ , то есть на $(x+a)$ .

Найдем частное. Удобнее всего воспользоваться схемой Горнера.

Так как выполняется деление многочлена $x^{2n-1}+a^{2n-1}$ , то его коэффициентами будут числа $1,\ 0,\ 0,\ 0,\ ...,\ 0, a^{2n-1}$ . Так как в канонической записи этого многочлена $2n$ слагаемых со степенями от $x^0$ до $x^{2n-1}$ , а лишь два из них ненулевые, то ноль будет повторяться в качестве коэффициента $2n-2$ раза.

Далее по схеме Горнера вычисляются коэффициенты частного (картинка). Степень частного на 1 меньше степени делимого.

Таким образом:

$x^{2n-1}+a^{2n-1}=(x+a)(x^{2n-2}-x^{2n-3}a+...-xa^{2n-3}+a^{2n-2})$

То есть наблюдается закономерность: показатель степени "х" уменьшается, а показатель степени "а" растет. Сумма же этих двух показателей постоянна и равна $2n-2$ , что на 1 меньше, чем степень исходного многочлена $x^{2n-1}+a^{2n-1}$ .

Artem112_zn (271k баллов) 22 Май, 20