Решить систему уравнений

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Решить систему уравнений.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\x + y = 28.\end{cases}$

Второе уравнение системы распишем, как сумму кубов.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}\right) = 28.\end{cases}$

Подставим первое уравнение системы во второе.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\4*\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}\right) = 28;\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 7.\end{cases}$

Переделаем второе уравнение системы, чтобы получить разность квадратов.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\\left(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}\right) - 3\sqrt[3]{xy} = 7;\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)^2 - 3\sqrt[3]{xy} = 7;\end{cases}$

Снова используем первое уравнение во втором.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\4^2 - 3\sqrt[3]{xy} = 7;\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\-3\sqrt[3]{xy} = 7 - 16;\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\3\sqrt[3]{xy} = 9;\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4,\\\sqrt[3]{xy} = 3;\end{cases}$

Выразим из первого уравнения одно из слагаемых.

$\begin{cases}\sqrt[3]{x} = 4 - \sqrt[3]{y},\\\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{y} = 3;\end{cases}$

Подставляем первое уравнение во второе.

$(4 - \sqrt[3]{y})*\sqrt[3]{y} = 3;\\4\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{y^2} = 3;\\-\sqrt[3]{y^2} + 4\sqrt[3]{y} - 3 = 0;\\\sqrt[3]{y^2} - 4\sqrt[3]{y} + 3 = 0.$

Введём замену переменных $\sqrt[3]{y} = t$ и решим квадратное уравнение.

$t^2 - 4t + 3 = 0;\\D = [b^2 - 4ac] = (-4)^2 - 4*3 = 16 - 12 = 4 = 2^2;\\\\t_{1,2} = \left[\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\right] = \dfrac{4\pm 2}{2} = 2\pm 1 = \left[\begin{array}{c}1,\\3.\end{array}$