Доказать через коши. a, b, c>=0

раскроем скобки в левой части

(левая часть)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b

получили 6 слагаемых(каждое из них ≥0, как прозведение положительных чисел), значит по неравенству Коши среднее арифметическое этих слагаемыхбольше или равно их среднегеометрическому

то есть:

$\frac{a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b}{6} \geq \sqrt[6]{a^{2}b*a^{2}c*b^{2}c*b^{2}a*c^{2}a*c^{2}b}=\sqrt[6]{a^{6}*b^{6}*c^{6}}=a*b*c\\$

умножив неравенство

$\frac{a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b}{6} \geq a*b*c$

на 6 и преобразовав (левую часть назад получим неравенство, которое необходимо было доказать, а именно:

$\frac{a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b}{6} \geq a*b*c | *6\\a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b\geq 6abc\\a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \geq 6abc\\$

что и требовалось доказать

P.S.

альтернативное доказательство(для тех кто не помнит неравенство Коши):

(левая часть)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b=

=b²a+c²a+a²b+c²b+a²c+b²c=

=a*(b²+c²)+b*(a²+c²)+c*(a²+b²)=

=a*(b²+c²)-2abc+b*(a²+c²)-2abc+c*(a²+b²)-2abc+6abc=

=a*(b²-2bc+c²)+b*(a²-2ac+c²)+c*(a²-2ab+b²)+6abc=

=a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²+6abc

первые три слагаемых (произведение неотрицательного числа на квадрат разности - тоже неотрицательное число) неотрицательны, и их сумма тоже, то есть

a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²≥0 (прибавим в право и влево 6abc

a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²+6abc≥6abc

подставив представление (левой части) получим

$a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b) \geq 6abc$

что и требовалось доказать