Если требуется исследовать ряды на сходимость, то можно в обоих случаях использовать радикальный признак Коши.
1)
![\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\arcsin^n\frac{\pi}{4n} } =\sqrt[n]{n} \arcsin\frac{\pi}{4n}=(*)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%5Carcsin%5En%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4n%7D%20%7D%20%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D%20%5Carcsin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4n%7D%3D%28%2A%29 "\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\arcsin^n\frac{\pi}{4n} } =\sqrt[n]{n} \arcsin\frac{\pi}{4n}=(*)")
Здесь встретился довольно редко использующийся в учебных заданиях предел ![\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D "\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}")
. В курсе анализа доказывается, что этот предел равен 1.
Тогда 
Предел меньше 1, поэтому ряд сходится.
2)
![\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n^2}} =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n}=2^{\infty}=\infty](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7B2n%2B3%7D%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%29%5E%7Bn%5E2%7D%7D%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2n%2B3%7D%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%29%5E%7Bn%7D%3D2%5E%7B%5Cinfty%7D%3D%5Cinfty "\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n^2}} =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n}=2^{\infty}=\infty")
Ряд расходится.