Задание по теории вероятностей Есть две урны. В них находятся белые и цветные шары. В...

0 голосов
48 просмотров

Задание по теории вероятностей Есть две урны. В них находятся белые и цветные шары. В первой - 3 белых и 4 цветных, во второй наоборот - 4 белых и 3 цветных. Из первой урны достали два шара и переложили во вторую. Затем из второй вытащили один белый. Какова вероятность,что этот белый шар первоначально находился в первой урне?

Математика (19 баллов) | 48 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Сначала разберёмся с первым этапом.

  • Вероятность того, что переложены 2 цветных шара: 4/7 * 3/6 = 2/7 (первый шар цветной с вероятностью 4/7, после этого остаются 3 цветных шара и 6 шаров всего).
  • Вероятность того, что переложены 2 белых шара: 3/7 * 2/6 = 1/7
  • Вероятность того, что переложен 1 белый шар и 1 цветной: 1 - 2/7 - 1/7 = 4/7

Пусть A₁ = "вытащен белый шар, который первоначально был в первой урне", A₂ - соответственно, во второй, B = "вытащен белый шар". Формула Байеса:

P(A_1|B)=\dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}=\dfrac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}

Вычисляем вероятности.

  • P(B|A_1)=P(B|A_2)=1: если известно, что вытащен белый шар из первой (второй) корзины, то вероятность, что вытащен белый шар, равна 1.
  • P(A_1)=0\cdot\dfrac27+\dfrac29\cdot\dfrac17+\dfrac19\cdot\dfrac47=\dfrac2{21}: если переложили 0 белых шаров (вероятность 2/7), то невозможно вытащить переложенный белый шар; если переложили 2 белых шара, то вероятность вытащить переложенный белый шар равна 2/9, так как всего во второй урне 9 шаров, и т.д.
  • P(A_2)=\dfrac49: во второй урне всегда 4 непереложенных белых шара и 5 оставшихся шаров.

Подставляем в формулу:

P(A_1|B)=\dfrac{2/21}{2/21+4/9}=\dfrac3{17}

(148k баллов)
Похожие задачи