Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
y"+2y'+5y=0
k^2+2k+5=0->k1,2=-1+-2i
y0=(C1cos2x+C2sin2x)e^(-x)
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: Y=Asinx+Bcosx, тогда
Y'=Acosx-Bsinx
Y"=-Asinx-Bcosx, подставляем в исходное уравнение получаем:
-Asinx-Bcosx+2Acosx-2Bsinx+5Asinx+5Bcosx=10cosx. Получаем систему 2-х уравнений:
4B+2A=10
4A-2B=0-> 2A=B->5B=10-> B=2,A=1,тогда
Y=sinx+2cosx
Общее решение данного уравнения будет равно:
y=y0+Y
y=(C1cos2x+C2sin2x)e^(-x)+sinx+2cosx