1) В боковую грань входит и сторона а основания,
Она равна: а = 2√2*cos45° = 2√2*(√2/2) = 2 см.
Тогда периметр основания Р = 3а = 3*2 = 6 см.
2) Пусть имеем пирамиду РАВС. АВ = ВС = 10 см. Высота основания ВД = 8 см. Высота пирамиды РО = 4 см.
Находим сторону основания АС.
АС = 2√(10² - 8²) = 2√(100 - 64) = 2√36 = 2*6 = 12 см.
Площадь основания So = (1/2)АС*ВД = (1/2)*12*8 = 48 см².
Полупериметр основания р = (2*10 + 12)/2 = 32/2 = 16 см.
Точка пересечения биссектрис треугольника АВС - это центр вписанной окружности.
Радиус её определяем по формуле r = S/p = 48/16 = 3 см.
Проекции всех высот боковых граней на основание и есть радиус r.
Высоты боковых граней равны между собой.
Их высота равна √(r² + PO²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см.
3) Если боковые рёбра имеют одинаковый угол наклона к основанию, то их проекции на основание - это радиусы R описанной около треугольника основания окружности.
В прямоугольном треугольнике радиус R описанной окружности равен половине гипотенузы и её центр лежит в середине гипотенузы.
Кроме того, высота пирамиды в данном случае совпадает с высотой боковой грани, опирающейся на гипотенузу. Эта грань вертикальна.
Находим гипотенузу: АВ = 2H/(tg φ).
Катеты основания равны:
АС = АВ*sin λ = (2H/(tg φ))*(sin λ), CB = AB*cos λ = (2H/(tg φ))*(cos λ).
Площадь основания равна:
So = (1/2)АС*СВ = (1/2)* ((2H/(tg φ))*(sin λ))*((2H/(tg φ))*(cos λ)) =
= (2H²*sin λ*cos λ)/(tg² φ) = (H²*sin(2λ))/(tg² φ).