lim(x→0) [(1 - 4cos4x)/2arcsin²2x) = ?
При х = 0 выражение представляет собой неопределённость типа 0/0
Раскрываем неопределённость по правилу Лопиталя
Произвоlная числителя равна -4(-sin4x) = 4sin4x
Производная знаменателя равна 2 · 2 · 2 : (1 - 4x²)= 8/(1 - 4x²)
lim(x→0) [(1 - 4cos4x)/2arcsin²2x) = lim(x→0) [4sin4x · (1 - 4x²)/8] =
Подставляем х = 0 в полученное выражение
= [4 · 0 · 1/8] = 0
Ответ: 0