Разделить проблему на несколько составляющих:
Содержательная - это то в чем вы уверенны
Процессуально-формальную - форма и способ поодачи
Содержательно вы конечно же правы, но по форме подачи - однозначно нет.
Повышение голоса - свидетельство того, что вас задели эмоционально. Возможно вы достаточно молоды, возможно очень лично воспринимаете критику. То что директор критиковал за внешний вид тоже подтверждает того что вас легко задеть.
Признать у директора неправоту по форме подачи. Признать что вы излишне эмоциональны и будете с этим работать. Попросить выступить посредником для родителя - потому что когда вы доказываете что профессионал - вы выглядите слишком самоуверенным, а когда кто-то признает со стороны - это более весоомо. То же самое с родителем . - признать - что вы не справились с эмоциями и слишком чувствительноо восприняли ситуацию, что ни в . коей мере не влияет на ваш . любимый предмет, методы его оценивания и преподавания.