Для нахождения решения необходимо решить уравнение
(3x+1)/e^x =14^(x²+3x+5)
Рассмотрим многочлен x²+3x+5=
=x²+3x+2,25+2,75=(x+1,5)²+2,75
График этой функции парабола, направленная ветвями вверх и сдвинутая вверх на 2,75, то есть функция всегда положительна с минимальным значением 2,75.
При этом функция 14^(x²+3x+5) тоже всегда положительна с минимальным значением 14^2,75≈1418
Тогда для наличия решения функция
(3x+1)/e^x должна быть больше или равна 1418.
Для нахождения максимума этой функции воспользуемся производной 2го порядка
((3x+1)/e^x)'=(xe^x - (3x+1)e^x)/(e^x×e^x)=
=(2-3x)/e^x
((3x+1)/e^x)''=((2-3x)/e^x)'=
=(-3e^x-(2-3x)e^x)/(e^x×e^x)=(3x-5)/e^x
Для нахождения точки экстрима приравняем производную второго порядка к 0.
(3x-5)/e^x=0 => 3x-5=0 => x=5/3
Подставим это значение в выражение функции
(3×5/3 +1) /e^5/3≈6/5,29≈1,13
Рассмотрев интервалы функции (3x-5)/e^x
между характерными точками
x = - 1/3; 2/3; 5/3; бесконечность,
находим, что точка (5/3; 1,13) это максимум функции (3x-5)/e^x
Таким образом видим, что функции
(3x-5)/e^x и 14^(x²+3x+5) общих точек не имеют, то есть наше исходное уравнение решений не имеет.