Основою 4-кутної піраміди є ромб зі стороною а, бічні грані піраміди нахилені до площини...

Question

Основою 4-кутної піраміди є ромб зі стороною а, бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом альфа, висота піраміди дорівнює Н. Знайдіть площу повної поверхні піраміди

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой f, высотой H и соединяющим их основания радиусом вписанной окружности основания r

H = f*sin(α)

f = H/sin(α)

r = f*cos(α) = H/sin(α)*cos(α) = H*ctg(α)

площадь одной боковой грани

S₁ = 1/2*a*f = 1/2*a*H/sin(α)

Площадь ромба - произведение боковой стороны на высоту к ней, высота = диаметру вписанной окружности

S₂ = a*2*r = a*H*ctg(α)

Полная площадь

S = 4*S₁ + S₂ = 2*a*H/sin(α) + a*H*ctg(α)