а) Поместим векторы m и n в прямоугольную систему координат началами в начало координат. Вектор m по оси Ох. Его координаты будут: m = (3; 0).
Координата вектора n по оси Ох равна 5*cos(5π/3) = 5/2 = 2,5,
по оси Оу: 5*sin(5π/3) = -5√3/2. то есть n = (2,5; (-5√3/2)).Находим координаты векторов а и b.
а = -5m - 4n = (-5*3 - 4*2,5; -5*0 - 4*(-5√3/2))) = (-25; 10√3).
b=3m + 6n = (3*3 + 6*2,5; 3*0 + 6*(-5√3/2)) = (24; (-15√3)).
Теперь определяем величины, входящие в заданное выражение (-2а+(1/3)b)(a+2b)
-2а = ((-2)*(-25); (-2)*(10√3)) = (50; (-10√3)).
(1/3)b = ((1/3)*24; (1/3)*(-15√3)) = (8; (-5√3)).
2b = (2*24; 2*(-15√3)) = (48; (-30√3)).
Определяем векторы:
(-2а + (1/3)b) = (50; (-10√3)) + (8; (-5√3)) = (58; (-15√3)),
(a+2b) = (-25; 10√3) + (48; (-30√3)) = (23; (-20√3))
Находим скалярное произведение векторов:
(-2а + (1/3)b)*(a+2b) = (58*23; (-15√3)*(-20√3)) = (1334; 900
).
б) Находим модули векторов.
|a| = √((-25)² + (10√3)²) = √(625 + 300) = √925 = 5√37 ≈ 30,413813.
|2b| = √((48² + (-30√3)²) = √(2304 + 2700) = √5004 = 6√139 ≈ 70,738957.
cos(a∧2b) = ((-25)*48 + (10√3)*(-30√3))/(5√37)*(6√139) =
= (-2100)/(30√5143
) ≈ -0,97609.