Найдите: Даю 30 баллов

$\int\limits^5_1\, \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\Big |_1^5=2\cdot (\sqrt5-\sqrt1)=2\cdot (\sqrt5-1)\\\\\int\limits^{4/5}_{2}\, \frac{dx}{x^3}=\frac{x^{-2}}{-2}\Big |_2^{4/5}=-\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{\frac{16}{25}}-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4}-\frac{25}{16})=-\frac{21}{32}\\\\\int\limits^0_{1/4}\, \frac{dx}{x^8}=\frac{x^{-7}}{-7}\Big |_{1/4}^0=-\frac{1}{7x^7}\Big |^0_{1/4}=?$

Получили, что невозможно подставить предел х=0, т.к. у первообразной переменная $x^7$ стоит в знаменателе, а область определениях функции х≠0. Получаем несобственный интеграл 2 рода.

$\int\limits^{-\pi /3}_{-\pi /2}\frac{dx}{sin^2x}=-ctgx\Big |_{-\pi /2}^{-\pi /3}=-(ctg(-\frac{\pi}{3})-ctg(-\frac{\pi}{2}))=-(-\frac{\sqrt3}{3}+0)=\frac{\sqrt3}{3}$