Изначально ** карточке были записаны два натуральных числа. Раз в минуту Мистер Робот...

Question

Изначально на карточке были записаны два натуральных числа. Раз в минуту Мистер Робот берёт эту карточку и, если первое число было нечётным, пишет на доске второе число, в противном случае ничего не делает. После этого Мистер Робот выбрасывает старую карточку и делает новую, первым числом на которой является уменьшенное вдвое и округлённое до единицы вниз первое число с предыдущей карточки, а вторым - удвоенное второе число с предыдущей карточки. Когда Мистер Робот получил карточку, первое число на которой равно нулю, он подсчитал сумму всех чисел, записанных на доске. Что он получил?Примечание к задаче: Задачу можно относить как к теме инвариантов, так и к теме систем счисления.

Comments

Что он получил - это понятно, но вот как это назвать - нет.

---

Автор утверждает, что должна получиться формула.

---

"...к теме инвариантов, так и к теме систем счисления. " - пусть тогда мехматовцы сушат с ней свой мозг.

---

Я не против...

Answer 1

Он получил произведение исходных чисел.

За странным описанием процесса по сути скрывается описание алгоритма умножения в столбик двоичных чисел: на i-м шаге, если первое число нечетное (=если на i-м месте справа в первом числе стоит 1), к сумме прибавляется 2^(i - 1) * второе число (=если всё записано в двоичной системе счисления, умножение на степень двойки равносильно сдвигу числа влево).

Инвариант тут такой: в любой момент времени сумма всех чисел, записанных на доске, и произведения чисел, записанных на карточке, не меняется.

Сначала на примере, если на карточке записаны 5 и 7:

1. карточка: 5 и 7, сумма на доске: 0
2. карточка: 2 и 14, сумма на доске: 7
3. карточка: 1 и 28, сумма на доске: 7
4. карточка: 0 и 56, сумма на доске: 7 + 28 = 35

В общем случае: пусть перед текущим шагом на доске числа a и b, сумма чисел на доске s; значение суммы ab + s. Есть два случая:

• a = 2a'. Тогда на следующем шаге на карточке будет a' и 2b, на доске ничего не изменится. Значение суммы a' * 2b + s = 2a' * b + s = ab + s
• a = 2a' + 1. На следующем шаге на карточке a' и 2b, на доску добавится b. Значение суммы a' * 2b + s + b = (2a' + 1) b + s = ab + s

Изначально на доске выписаны числа суммой 0 (инвариант равен произведению чисел на карточке = p), в конце произведение чисел на карточке равно 0, тогда сумма выписанных чисел равна p.