Доказываем по методу математической индукции.
Проверяем, справедливо ли для n = 1.
1 * 2 * 3 * 4 = 24
1/5 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 24, т.е. для n = 1 равенство выполняется.
Пусть теперь равенство справедливо для n, проверим, что оно справедливо для n + 1.
1 * 2 * 3 * 4 + ... + n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) =
1/5 * n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) + (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) =
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) * (1/5 * n + 1) =
1/5 * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) * (n + 5), т.е равенство справедливо для n + 1, в значит и для всех n