Точка М лежит ** окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что...

0 голосов
22 просмотров

Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА^2+ МВ^2+ МС^2+ МD^2= 8R^2


Геометрия (352 баллов) | 22 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

  АВСD – прямоугольник, его диагонали – диаметры описанной окружности. ⇒ угол М в треугольниках ВМD и АМС - прямой.   В ∆ АМС по т.Пифагора MA²+MC²=BD²;  в ∆ BMD по т.Пифагора МВ²+МD²=BD²

  Сложив два уравнения, получим. МА²+МВ²+МС²+МD²=2BD²  Диаметр DВ=2R, следовательно, 2BD²=2(2R)²=8R²МА²+МВ²+МС²+МD²=8BD² Доказано.


image
(228k баллов)