Докажите тождество a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)

Question

Докажите тождество a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)

a(b²+2bc+c²)+b(c²+2ca+a²)+c(a²+2ab+b²)-4abc=(ab+ac+b²+bc)(c+a)

ab²+2abc+ac²+bc²+2abc+a²b+a²c+2abc+b²c-4abc=abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²+abc

(2abc+2abc+2abc-4abc)+ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c=(abc+abc)+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²

2abc+ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c=2abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²

доказано

 

 

Answer 2

решаем слева:  a(b^2+2ab+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+C(a^2+2ab+b^2)-4abc=ab^2+2ab+ac^2+bc^2+2abc+a^2b+a^2c+2abc+b^2c-4abc=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c+2abc

теперь правую часть:2abc+ac^2+b^2c++bc^2+a^2b+a^2c+b^2a решая дальше получим 0=0