Помогите решить предел, с подробным решением

$\lim\limits_{x\to e}\frac{\ln x-1}{x-e}=||x-e=t||=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\ln(e+t)-\ln e}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\ln\frac{e+t}{e}}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\ln(1+\frac{t}{e})}{t}=\\=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\frac{t}{e}}{t}=\frac{1}{e}$

Замечание. Мы воспользовались эквивалентностью $\ln(1+\alpha)\sim \alpha$ при $\alpha\to 0$ . Кстати, предел можно было бы найти с помощью правила Лопиталя.

Ответ: $\frac{1}{e}$