С виду правой части f (x) и корням характеристического уравнения определить вид общего...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Дифференциальное уравнение по данным: $y'''-9y''+24y'-20y=3xe^{-3x}$

Общее решение однородного уравнения $y'''-9y''+24y'-20y=0$

$\sf y_{o.o.}=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=3xe^{-3x}$

$P_n(x)=3x;~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~~ \alpha=-3$

Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:

Уч.н. $=(Ax+B)e^{-3x}$

Найдем теперь производные первого, второго и третьего порядка

$y'=-3e^{-3x}(Ax+B)+Ae^{-3x}\\ y''=9e^{-3x}(Ax+B)-3Ae^{-3x}-3Ae^{-3x}\\ y'''=-27e^{-3x}(Ax+B)+9Ae^{-3x}+18Ae^{-3x}=-27e^{-3x}(Ax+B)+27Ae^{-3x}$

Подставляем в исходное уравнение, получим:

$-27(Ax+B)+27A-81(Ax+B)+54A-72(Ax+B)+54A-\\ -20(Ax+B)=3x\\ -27Ax-27B+135A-81Ax-81B-72Ax-72B-20Ax-20B=3x\\-200Ax+135A-200B=3x$

Приравнивая коэффициенты при степени x, получим

$\displaystyle\left \{ {{-200A=3} \atop {135A-200B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{A=-\frac{3}{200}} \atop {B=-\frac{63}{8000}}} \right.$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Уо.н. = Уо.о. + Уч.н. = $C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{5x}-e^{-3x}\bigg(\dfrac{3x}{200}+\dfrac{63}{8000}\bigg).$

_zn (654k баллов) 20 Май, 20