Определяем длины сторон треугольника, а затем используем формулы косинуса угла С и формулу Герона для определения площади.
Расчет длин сторон
cАВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²) = √29 ≈ 5,385165,
aBC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √30 ≈ 5,477226,
bAC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √43 ≈ 6,557439.
cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (30 + 43 - 29)/(2*√30*√43) = 0,61253.
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)). Полупериметр р = 8,709914.
Подставив данные, получаем S = 14,195.
Можно использовать векторный способ.
→АВ = (-4; 3; -2), →АС = (-3; 5; 3).
Найдем векторное произведение векторов:
c = a × b =
i j k
axayaz
bxbybz
=
ijk
-43-2
-353
= i (3·3 - (-2)·5) - j ((-4)·3 - (-2)·(-3)) + k ((-4)·5 - 3·(-3)) =
= i (9 + 10) - j (-12 - 6) + k (-20 + 9) = {19; 18; -11}.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(19² + 18² + (-11)²) = √(361 + 324 + 121) = √806.
Найдем площадь треугольника: S = (1/2)√806 ≈ 14.195.