Данная функция - парабола, её ветви направлены вверх. Тогда заметим, что если одновременно выполняются условия f(0) ≤ 0 и f(1) ≤ 0, то на интервале (0; 1) значения функции будут отрицательными (это действительно так: если на заданном интервале функция убывает и f(0) ≤ 0, то f(1) < 0; если возрастает и f(1) ≤ 0, то f(0) < 0; если на интервале находится её вершина и f(0) ≤ 0, f(1) ≤ 0, то её значения на промежутке будут точно отрицательны).
![\left \{ {{f(0)\leq0} \atop {f(1)\leq0}} \right. \left \{ {{2p^2-1\leq0} \atop {2p^2+3p\leq0}} \right. \left \{ {{p^2\leq\frac{1}{2}} \atop {p(2p+3)\leq0}} \right. \left \{ {{p\in[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]} \atop {p\in[-1.5; 0]}} \right. \Rightarrow p\in[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bf%280%29%5Cleq0%7D%20%5Catop%20%7Bf%281%29%5Cleq0%7D%7D%20%5Cright.%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B2p%5E2-1%5Cleq0%7D%20%5Catop%20%7B2p%5E2%2B3p%5Cleq0%7D%7D%20%5Cright.%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bp%5E2%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%5Catop%20%7Bp%282p%2B3%29%5Cleq0%7D%7D%20%5Cright.%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bp%5Cin%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%3B%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5D%7D%20%5Catop%20%7Bp%5Cin%5B-1.5%3B%200%5D%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20p%5Cin%5B-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%3B%200%5D "\left \{ {{f(0)\leq0} \atop {f(1)\leq0}} \right. \left \{ {{2p^2-1\leq0} \atop {2p^2+3p\leq0}} \right. \left \{ {{p^2\leq\frac{1}{2}} \atop {p(2p+3)\leq0}} \right. \left \{ {{p\in[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]} \atop {p\in[-1.5; 0]}} \right. \Rightarrow p\in[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0]")
Отсюда наибольший p = 0.
Ответ: 0