Укажите все значения параметра k при котором прямая y = kx-2 имеет единственную общую точку с параболой y= x^2+x+7
Решение:
Прямая имеет единственную общую точку с параболой если является ее касательной или проходит через ее вершину симметрично ветвям.
Найдем уравнение касательной к этой параболе по уравнению
y = y'(хо)*(x-xo)+y(xo)
где y'(xo) - значение производной уравнения параболы в точке хо, xo и уо произвольная точка параболы через которую проходит касательная.
Находим производную
y' = (x^2+x+7)'=2x+1
y'(xo) = 2xo+1
y(xo) =xo^2+xo+7
y = (2xo+1)(x-xo)) + xo^2+xo+7
Уравнение искомой касательной имеет вид y = kx-2
Поэтому в точке х = 0 у = -2
Определим координаты второй точки этой касательной принадлежащей параболе подставив в уравнение касательной y = (2xo+1)(x-xo)) + xo^2+xo+7 значение х=0 и у = -2
-2 = (2xo+1)(0-xo)) + xo^2+xo+7
2 = -2xo^2 -xo + xo^2+xo+7
xo^2 =9
xo1 = -3 или хо2 = 3
Определяем угловой коэффициент касательной из уравнения производной
k = y'(xo) = 2xo+1
При xo1 = -3
k1 = 2*(-3)+1=-5; y = -5x-2
При xo2 = 3
k2 = 2*3 + 1= 7; y = 7x-2
Поэтому при k=-5;-7 прямаю будет иметь единственную общую точку с параболой y= x^2+x+7
Велосипедист едет сначала 13 минут с горы , затем 14 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 33 минуты. При этом в гору он едет с той же скоростью, а с горы с большей но также одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору.
Решение. Пусть скорость велосипедиста с горы V1 в х раз больше чем в гору V2.
Тогда V1=x*V2 или х = V1/V2.
Путь с горы равен
S1 =13*V1 = 13*x*V2
, а путь в гору равен
S2 = 14*V2
Запишем уравнение движения обратного пути
S2/V1 + S1/V2 =33
Подставим выражения для S1 и S2 полученные ранее
14*V2/V1 +13*x*V2/V2 =33
14/x +13x =33
Поскольку х не равно нулю умножим обе части уравнения на х
14+13x^2 =33x
13x^2 -33x +14 =0
D = 1089 -4*13*14 =1089-728 = 361
x1=(33+19)/26 = 2 x2 =(33-19)/27 = 0,53( не подходит так как по условию скорость велосипедиста с горы больше чем в гору)
Ответ : в 2 раза