Пусть – числовое множество.
Определение. Функцией называется закон, который каждому числу ставит в соответствие единственное число :
Это определение числовой функции. Но используется стандартная терминология:
– независимая переменная (аргумент);
– зависимая переменная;
множество называется областью определения функции и обозначается .
Важным является множество значений функции. Оно обозначается через и это множество всех , таких что :
– область значений функции.
Итак, мы повторили, что такое функция, а также что такое область определения и множество значений функции.
Пример нахождения области определения и области значений функции
Пусть . Существует закон, согласно которому берем (аргумент) и возводим в квадрат. Но в первой функции все это происходит на множестве , а во второй функции все это происходит на множестве . Итак, есть закон, есть область определения – одна функция. Есть тот же закон и другая область определения – другая функция. Построим графики этих функций (рис. 1).
1. 2.
Графики функций Графики функций
Рис. 1. Графики функций
Имеем, ветвь параболы – это для первой функции. Для второй функции – – это область определения. В точке (-1) функция равна 1: , в точке 2 – функция равна 4: , проходит через 0: . Это часть параболы (рис. 1).
Одна точка с координатами , а вторая точка с координатами .
Итак, мы имеем две функции – график первой функции и график второй функции. Область определения задана.
Множество значений – это проекция графика функции на ось . На графике первой функции множество значений здесь – множество всех неотрицательных чисел; на втором – когда меняется в пределах от -1 до 2, функция меняется в пределах от 0 до 4. Первая функция меняется на луче, а вторая – на отрезке.