5) Умножив числитель и знаменатель дроби на 1+√cos(2*x), получим выражение [1-cos(2*x)]/[x²*(1+√cos(2*x)]=2*sin²(x)/x²*1/[1+√cos(2*x)]. Тогда искомый предел равен произведению пределов: lim(x⇒0) 2*sin²(x)/x²*lim(x⇒0) 1/[1+√cos(2*x)]=2*1*1/(1+1)=2/2=1. Ответ: 1
6) Применяя правило Лопиталя к бесконечно малым величинам α(x)=e^(2*x)-1 и β(x)=2*x, находим, что lim(x⇒0) α(x)/β(x)=lim(x⇒0) α'(x)/β'(x)=lim(x⇒0) 2*e^(2*x)/2=2/2=1. Значит, бесконечно малые величины α(x) и β(x) эквивалентны, а тогда при нахождении заданного предела можно заменить α(x) на β(x), и тогда он запишется в виде lim(x⇒0) 2*x/(3*x)=2/3. Ответ: 2/3.
7) Так как при x⇒0 бесконечно малые величины x и ln(1+x) эквиваленты, а также эквивалентны бесконечно малые величины sin[√(1+x)-1] и √(1+x)-1, то данный предел можно записать в виде lim(x⇒0) [√(1+x)-1]/x. Умножив числитель и знаменатель на √(1+x)+1, получим lim(x⇒0) x/x=1. Ответ: 1.
8) Так как 1-cos(x)=2*sin²(x/2), а при x⇒0 бесконечно малые величины sin²(x/2) и (x/2)²=x²/4 эквивалентны, и кроме того эквивалентны бесконечно малые величины x и sin(x), то данный предел можно записать в виде lim(x⇒0) 2*x²/[2*x²/4]=4. Ответ: 4.