1)Сочинения уже проверены учителем. - СИС - составное именное сказуемое, краткое причастие с нулевым глаголом-связкой.
2)Путники пришли в себя после небольшого отдыха. - ПГС, простое глагольное сказуемое, пришли в себя - фразеологизм - можно заменить одном глаголом "опомнились".
3)Я просил купить мне коньки. - простое глагольное сказуемое ПГС, купить - дополнение, так как выражает действие другого лица: просит герой, а покупать должен кто-то другой.
4)Я рад был принять участие в подготовке праздника. - СГС, составное глагольное сказуемое: рад участвовать
5)Это известие явилось для нас полной неожиданностью. - Составное именное сказуемое, СИС.
6)Отец посоветовал мне учиться плаванию. - простое глагольное сказуемое; учиться - дополнение, так как советует отец, а учиться должен герой высказывания.
7)Его лицо казалось усталым. - составное именное сказуемое СИС
8)Услышав свою фамилию, мальчик сразу навострил уши. - простое глагольное сказуемое, так как фразеологизм = прислушался.