Доказазать неравенство

$\frac{a}{ {b}^{2} } + \frac{b}{ {a}^{2} } \geqslant \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ \frac{ {a}^{3} + {b}^{3} }{ {a}^{2} {b}^{2} } \geqslant \frac{a + b}{ab} \\ \frac{(a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2} ) }{ {a}^{2} {b}^{2} } - \frac{a + b}{ab} \geqslant 0 \\$
$\frac{(a + b)( {a}^{2} - ab + {b}^{2} ) - (a + b)ab }{ {a}^{2} {b}^{2} } \geqslant 0 \\ \frac{(a + b)( {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}) }{{a}^{2} {b}^{2} } \geqslant 0 \\ \frac{(a + b) {(a - b)}^{2} }{ {a}^{2} {b}^{2} } \geqslant 0 \\$

Утверждение, которое мы получили равносильно данному. При:
$a + b \geqslant 0$
оно верно, т. к. квадраты чисел неотрицательны, ч. т. д.