task/30021722
1. а) f(x) = (1/3)*x³ +(1/2)*x² - 6x - 7
f '(x) = ( (1/3)*x³ +(1/2)*x² - 6x - 7 ) ' =(1/3)*3x²+(1/2)*2*x -6*1 -0 =x²+x -6 =
(x +3)(x-2)
f ' (x) " + " " - " " +"
----------------------[- 3] -------------- [2] ---------------
f(x) ↑ max ↓ min ↑
Функция f(x) возрастает(↑) , если производная положительно ,т.е. в промежутках ( -∞ ; -3 ] и [ 2 ; +∞ ) ,
убывает(↓) , если производная отрицательно , т.е. x ∈ [ -3 ; 2] .
б) f(x) = e^(x²+12x)
f '(x) = ( e^(x²+12x) ) ' =e^(x²+12x)* (x²+12x) ' =e^(x²+12x)* (2x +12) =
2e^(x²+12x)* (x +6) , т.к. e^(x²+12x) > 0 для всех x ∈ R ,то
функция f(x) возрастает,если x +6 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 6 ; x ∈ [- 6 ;∞)
функция f(x) убывает(↓) ,если x +6 ≤ 0⇔ x ≤ - 6 ; x ∈ [- ∞ ;- 6)
2. f(x) = (x² +5) / (x -2) * * * = x + 2 + 9 / (x-2) = x + 2 + 9( x-2)⁻ ¹ * * *
D(f) или ООФ Область Определения Функции: x∈ ( -∞ ; 2) ∪ (2 ; ∞) .
Функция не определена в точке x =2
f ' (x) = ( (x² +5) / (x -2) ) = [ (x² +5) ' *(x-2) - (x²+5)*(x-2) ' ] / (x-2)² =
= [ 2x(x-2) - (x²+5)*1 ] / (x-2)² = (2x² -4x -x²-5) / (x-2)² =(x² -4x -5) / (x-2)² =
(x+1)(x-5) / x-2)²
+ + + + + + + [ -1] - - - - - 2- - - [5] + + + + + + + +
возрастает x ∈ ( -∞ ; - 1] и x ∈ [5 ; + ∞ )
убывает x ∈ [ -1 ; 2) и x ∈ ( 2 ; 5 ] .
3. g(x) = sin²x - 3x
g' (x) = (sin²x - 3x) ' = 2*(sinx)*(sinx) -3 = 2*sinx*cosx -3 = sin2x - 3 < 0 при всех значениях аргумента , x ∈ R
* * * - 1 ≤ sinα ≤ 1 * * *
* * * ( f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) +... +f(x) ) ' = f₁ '(x) + f₂ '(x) + f₃'(x)+ ...+ f' (x) ; (u/v) ' = (u'*v - u*v') /v² ; (cf(x) ) =c*f ' (x) ; (xⁿ) ' = nxⁿ⁻¹ ; (sinx) ' = cosx * * *
* * *
f ' (x) = ( (x² +5) / (x -2) ) ' = ( x + 2 + 9( x-2)⁻ ¹ ) ' = 1 +0 - 9*(-1) *(x-2)⁻² =
1 - 9 / (x-2)² =( ( x-2)² -3² ) /(x+2)² = (x+1)( x-5) /(x+2)² * * *