Объясните пожалуйста как это решать

0 голосов
16 просмотров

Объясните пожалуйста как это решать


image

Алгебра (17 баллов) | 16 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Расскажу на примере Y=x^2/x^2+1 график функции

График функции симметричен относительно оси ОХ, функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

Проверим на чётность/нечётность

f(-x)=(-x)²/((-x)²+1)=x²/(x²+1)=f(x)

значит  данная функция является четной, её график симметричен оси ординат.

Вертикальные асимптоты отсутствуют.

График функции проходит через начало координат. Функция больше 0 на всей области определения.


f'(x)=(x²/(x²+1))'=((x²)'(x²+1)-x²(x²+1)')/(x²+1)²=(2x(x²+1)-x²*2x)/(x²+1)²=

=(2x³+2x-2x³)/(x²+1)²=2x/(x²+1)²

2x/(x²+1)²=0

x=0 - критическая точка

Определим знаки производной на интервалах

                    -                                            +

-----------------------------------(0)-------------------------------------

функция убывает на интервале (-∞;0) и возрастает на интервале (0;+∞).

В точке х=0 функция достигает минимума: f(0)=0


f''(x)=(2x/(x²+1)²)'=2((x)'(x²+1)²-x((x²+1)²)')/(x²+1)⁴=2((x²+1)²-x*2(x²+1)*2x)/(x²+1)⁴=

=2*((x²+1)²-4x²(x²+1))/(x²+1)⁴=2*(x²+1)(x²+1-4x²)/(x²+1)⁴=2(1-3x²)/(x²+1)³=

=(2-6x²)/(x²+1)³

(2-6x²)/(x²+1)³=0

Знаменатель не равен 0 и положителен при любом х, поэтому работаем с числителем:

2-6x²=0

-6x²=-2

x²=1/3      x=-1/√3   x=1/√3 - критические точки

Определим знаки f''(x):

            -                                       +                                    -

----------------------(-1/√3)---------------------------(1/√3)---------------------------


График функции f(x) является выпуклым на (-∞;-1/√3)∪(1/√3;+∞) и вогнутым на (-1/√3;1/√3).



(157 баллов)