task/29820372 Найти x +x⁻¹ , если x³+x⁻³ = - 18
Решение x + x⁻¹ =x+1/x ; x³+x⁻³ = x³+ 1 / x³ Из формулы
(a+b)³=a³+3a²b +3ab²+b³ =a³+b³+3ab(a+b) ⇒ (a+b)³ - 3ab(a+b) = a³+b³
При a =x ; b = 1/x получается ( x+1/x)³ -3*( x+1/x ) = -18 замена t= x+ 1 / x
t³-3t +18 =0⇔t³+27-3t -9 =0 ⇔(t³+3³)-3(t +3) =0⇔(t+3)(t²-3t +9)-3(t +3) =0⇔
(t+3)(t²-3t +6 =0⇔ [ t +3 =0 ; t²-3t +6 =0 . ⇒ t = -3 . ( уравнение t²-3t +6 =0 не имеет действительных корней , дискриминант D =3² - 4*1*6 = -15 < 0 )
x+ 1 / x = -3
ответ: x+ 1 / x = - 3 .