task/29775857 Решить уравнение. 9ˣ +4ˣ =12ˣ +1
Решение: 9ˣ + 4ˣ =12ˣ + 1. ⇔(3ˣ)² - 1 + 4ˣ -12ˣ =0. ⇔ (3ˣ -1 )(3ˣ +1 ) -4ˣ( 3ˣ - 1) = 0 . ⇔(3ˣ - 1) (3ˣ+1 - 4ˣ) =0. ⇔ [ 3ˣ -1 =0 ; 3ˣ + 1 = 4ˣ . ⇔ [ 3ˣ = 1 ; (3/4)ˣ + (1/4)ˣ = 1 . ⇔
[ 3ˣ =3⁰ ; (3/4)ˣ+(1/4)ˣ = 1 . ⇔ [ x =0 ; x= 1.
ответ : 0 ; 1 .
Элементарно можно доказать , что x =1 единственный корень уравнения (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1 доказательство от противного: допустим,что есть корни ≠ 1
* * * y = (3/4)ˣ и y =(1/4)ˣ убывающие , 0 < 3/4 <1 ; 0 < 1/4 < 1 * * *</p>
а) x < 1. в этом случае (3/4)ˣ >3/4 и (1/4)ˣ > 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ > (3/4) + (1/4) = 1
б) x > 1 , 3/4)ˣ < 3/4 и (1/4)ˣ < 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ < (3/4) + (1/4) = 1