Дано неравенство √(х + 2) - √(3х - 1) > √(x - 1). ОДЗ: х ≥ 1.
Возводим в квадрат обе части:
х + 2 - 2√(3х² + 6х - х - 2) + 3х - 1 > x - 1
3x + 2 > 2√(3x² + 5x - 2). Опять возводим в квадрат.
9х² + 12х + 4 > 4(3x² + 5x - 2)
9х² + 12х + 4 > 12x² + 20x - 8)
3х² + 8х - 12 < 0.
Решаем квадратное уравнение 3х² + 8х - 12 = 0.
Ищем дискриминант:
D=8^2-4*3*(-12)=64-4*3*(-12)=64-12*(-12)=64-(-12*12)=64-(-144)=64+144=208;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√208-8)/(2*3)=(√208-8)/6=(√208/6)-(8/6) = 2(√13-2)/3 ≈ 1.070368;
x_2=(-√208-8)/(2*3)=(-√208-8)/6=-√208/6-8/6=-√208/6-(4/3) ≈ -3.737034.
Второй корень не подходит по ОДЗ.
Ответ: х ∈ [1; 2(√13-2)/3).