Решите иррациональное уравнение

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Решение.

1) $\sqrt[12]{3x+2} = \sqrt[24]{(5x-14)^{2} }$

ОДЗ.

(5х - 14)² ≥ 0 при любых х

3х + 2 ≥ 0; 3х ≥ - 2; х ≥ -2/3

х∈[-2/3; +∞)

Возводим левую и правую части уравнения в 24-ю степень.

(3х + 2)² = (5х - 14)²

9х² + 12х + 4 = 25х² - 140х + 196

16х² - 152х + 192 = 0

2х² - 19х + 24 = 0

D = 19² - 4 · 2 · 24 = 169

√D = 13

x₁ = (19 - 13)/4 = 1.5

x₂ = (19 + 13)/4 = 8

Проверка x₁ = 1.5

$\sqrt[12]{3\cdot 1.5 +2} = \sqrt[24]{(5\cdot 1.5-14)^{2} }$

$\sqrt[12]{6.5} = \sqrt[24]{(-6.5)^{2} }$

$\sqrt[12]{6.5} = \sqrt[24]{42.25 }$

$\sqrt[12]{6.5} = \sqrt[12]{6.5 }$

Проверка x₂ = 8

$\sqrt[12]{3\cdot 18 +2} = \sqrt[24]{(5\cdot 8-14)^{2} }$

$\sqrt[12]{26} = \sqrt[24]{26^{2} }$

$\sqrt[12]{26} = \sqrt[12]{26 }$

Ответ: x₁ = 1.5; x₂ = 8

2) $\sqrt[7]{3x^{2}-11x-4} = \sqrt[14]{100}$

ОДЗ:

Поскольку $\sqrt[14]{100}$ > 0, то и 3х² - 11х - 4 > 0

3х² - 11х - 4 = 0

D = 11² + 4 · 3 · 4 = 169

√D = 13

x₁ = (11 - 13)/6 = -1/3

x₂ = (11 + 13)/6 = 4

Неравенство 3х² - 11х - 4 > 0 имеет решение х∈(-∞; - 1/3)∪(4; +∞)

То есть ОДЗ: х∈(-∞; - 1/3)∪(4; +∞)

$\sqrt[7]{3x^{2}-11x-4} = \sqrt[14]{10^{2}}$

$\sqrt[7]{3x^{2}-11x-4} = \sqrt[7]{10}$

Возводим левую и правую части уравнения в 7-ю степень

3х² - 11х - 4 = 10

3х² - 11х - 14 = 0

D = 11² + 4 · 3 · 14 = 289

√D = 17

x₁ = (11 - 17)/6 = -1

x₂ = (11 + 17)/6 = 14/3 = $4\dfrac{2}{3}$

Проверка x₁ = -1

$\sqrt[7]{3+11-4} = \sqrt[7]{10}$

$\sqrt[7]{10} = \sqrt[7]{10}$

Проверка x₂ = 14/3 = $4\dfrac{2}{3}$

$\sqrt[7]{3\cdot (\dfrac{14}{3})^{2}-11\cdot \frac{14}{3} -4} = \sqrt[7]{10}$

$\sqrt[7]{\dfrac{14^{2}-11\cdot 14-12 }{3} } = \sqrt[7]{10}$

$\sqrt[7]{10} = \sqrt[7]{10}$

Ответ: x₁ = -1; x₂ = $4\dfrac{2}{3}$

3) $\sqrt[3]{x^{3}-5x^{2}+9x-1} = x-1$

ОДЗ: х∈(-∞; +∞)

Возводим правую и левую части уравнения в 3-ю степень

х³ - 5х² + 9х - 1 = (х - 1)³

х³ - 5х² + 9х - 1 = х³ - 3х² + 3х - 1

-5х² + 9х = -3х² + 3х

2х² - 6х = 0

2х (х - 3) = 0

х₁ = 0

х₂ = 3

Проверка х₁ = 0

$\sqrt[3]{0-0-0-1} = 0-1$

-1 = -1

Проверка х₂ = 3

$\sqrt[3]{3^{3}-5\cdot 3^{2}+9\cdot 3-1} = 3 -1$

$\sqrt[3]{(27-45+27-1} = 3 -1$

$\sqrt[3]{8} = 2$

2 = 2

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 3

elena20092_zn (14.8k баллов) 17 Май, 20