a) Рассмотрим x₂ > x₁ ≥ 4 и найдём разность f(x₂) - f(x₁).
f(x₂) - f(x₁) = -x₂² + 8x₂ - (-x₁² + 8x₁) = -x₂² + 8x₂ + x₁² - 8x₁ = x₁² - x₂²- 8x₂ + 8x₁ =
= (x₁ - x₂)(x₁ + x₂) + 8(x₁ - x₂) = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂ + 8). Поскольку x₂ > x₁, то x₁ - x₂ < 0 и, соответственно, (x₁ - x₂)(x₁ + x₂ + 8) < 0. Отсюда имеем, что f(x₂) - f(x₁) < 0. Значит функция f(x) = - x² + 8x - убывает на указанном промежутке.
б) Рассмотрим x₂ > x₁ > 3 и найдём разность f(x₂) - f(x₁).
f(x₂) - f(x₁) = -2/(x₂ - 3) + 2/(x₁ - 3) = 2(-x₁ + 3 + x₂ - 3)/((x₂ - 3)(x₁ - 3)) =
=2(-x₁ + x₂)/((x₂ - 3)(x₁ - 3)) = 2(x₂ - x₁)/((x₂ - 3)(x₁ - 3)). Поскольку x₂ > x₁>3, то x₂ - x₁ > 0 и, (x₂ - 3)(x₁ - 3) > 0. Отсюда имеем, что 2(x₂ - x₁)/((x₂ - 3)(x₁ - 3)) > 0 и f(x₂) - f(x₁) > 0. Значит функция f(x) = -2/(x - 3) - возрастает на указанном промежутке.