Вычислите sin (2 arccos 1/4); ctg (arccos (-1/3) )

$1)$
$sin(2arccos \frac{1}{4} )=2* \frac{1}{4}* \frac{ \sqrt{15} }{4}= \frac{ \sqrt{15} }{8}$

Пусть $arccos \frac{1}{4}= \alpha,$ $\alpha$ ∈ $[0; \frac{ \pi }{2}]$ , $cos \alpha = \frac{1}{4}$

Задача свелась к тому, чтобы найти $sin2 \alpha$

$sin2 \alpha =2sin \alpha cos \alpha$

$|sin \alpha |= \sqrt{1-cos^2 \alpha } = \sqrt{1-( \frac{1}{4})^2 }= \sqrt{1- \frac{1}{16} } = \sqrt{ \frac{15}{16} }= \frac{ \sqrt{15} }{4}$

$sin2 \alpha =2* \frac{1}{4} * \frac{ \sqrt{15} }{4}= \frac{ \sqrt{15} }{8}$

$2)$
$ctg(arccos(- \frac{1}{3} ))=ctg( \pi -arccos \frac{1}{3})=-ctg(arccos \frac{1}{3})=- \frac{ \sqrt{2} }{4}$

Пусть $arccos \frac{1}{3} = \alpha ,$ $\alpha$ ∈ $[0; \frac{ \pi }{2} ],$ $cos \alpha = \frac{1}{3}$

Запишем:
$|sin \alpha |= \sqrt{1-cos^2 \alpha } = \sqrt{1- \frac{1}{9} }= \sqrt{ \frac{8}{9} }= \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

$ctg \alpha = \frac{cos \alpha }{sin \alpha }$

$ctg \alpha = \frac{1}{3}: \frac{2 \sqrt{2} }{3}= \frac{1}{3}*\frac{3 }{2 \sqrt{2} }= \frac{1}{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{4}$