Найти предел) (подробно) Номер 52

Разобьем последовательность на две подпоследовательности с чётными и нечётными n.

Сгруппируем слагаемые под модулем попарно:

$\displaystyle\left(\frac1n-\frac2n\right)+\left(\frac3n-\frac4n\right)+\dots$

Если n чётно, таких скобок ровно n/2, в каждой получается -1/n, так что всё выражение равно -1/2.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\left(\frac1n-\frac2n\right)+\left(\frac3n-\frac4n\right)+\dots+\left(\frac{n-1}n-\frac1n\right)\right|=\lim_{n\to\infty}\frac12=\frac12$

Если n нечётно, скобок (n - 1)/2, в каждой по-прежнему получается -1/n, и ещё дополнительно 1 = n/n, которой не хватило пары. Значение выражения -1/2 - 1/(2n) + 1 = 1/2 - 1/(2n).

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\left(\frac1n-\frac2n\right)+\left(\frac3n-\frac4n\right)+\dots+\left(\frac{n-2}n-\frac{n-1}n\right)+1\right|=\\=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12-\frac1{2n}\right)=\frac12$

Итак, каждая из двух подпоследовательностей сходится, притом пределы совпадают, а вместе эти подпоследовательности образуют всю последовательность. Значит, и вся последовательность сходится к тому же пределу.

(На всякий случай доказательство: пусть Xn, Yn сходятся к A. Докажем, что последовательность X1, Y1, X2, Y2, ... сходится к A. По определению, для любых ε > 0 найдутся такие Nodd и Neven, что для всех n > Nodd: |Xn - A| < ε; для всех n > Neven: |Yn - A| < ε. Тогда все члены новой последовательности, с номерами, большими max(2*Nodd - 1, 2*Neven), отличаются от A меньше, чем на ε)