1)В трапеции ABCD(BC||AD) точка М делит диагональ АС в отношении 1:3(3АМ=MC), а точка...

Question

1)В трапеции ABCD(BC||AD) точка М делит диагональ АС в отношении 1:3(3АМ=MC), а точка К-середина DC. Найти отношение площади треугольника МСК к площади трапеции ABCD,если AD=2BC

2)Доказать что в любом треугольнике сумма трех медиан меньше периметра, но больше 3/4 периметра.

Answer 1

2. Из свойств медиан известно, что Ma<(b+c)/2 Mb<(a+c)/2 Mc<(a+b)/2 Сложим эти неравенства</p>

Ma+Mb+Mc<(b+c)/2+(a+c)/2+(a+b)/2=a+b+c=p</p>

То есть, сумма длин медиан меньше периметра

Пусть ABC – треугольник, а точка O – точка пересечения медиан, тогда сумма двух сторо треугольника больше третьей

BO+OA>BA

AO+OC>AC

CO+OB>CB

Сложим эти неравенства

2*BO+2*AO+2*OC>BA+AC+CB

Учитывая то, что

AO=2Ma/3

BO=2Mb/3

CO=2Mc/3

Получим

2*2*Ma/3+2*2*Mb/3+2*2Mc/3=BA+AC+CB

(4/3)*(Ma+Mb+Mc)=BA+AC+CB

(Ma+Mb+Mc)=(3/4)*(BA+AC+CB)